barisan dan deret

1.  Barisan

Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu.  Barisan ada 2 macam yaitu :

a.     Barisan Terhingga

Barisan terhingga adalah barisan yang mempunyai bilangan pertama dan bilangan terakhir.

Contoh : 2,6,18,54,162

b.     Barisan Tak Terhingga

Barisan tak terhingga adalah barisan yang tidak mempunyai bilangan pertama dan bilangan terakhir. Tanda titik-titik menyatakan barisan itu tidak mempunyai bilangan pertama dan bilangan terakhir.

Contoh : …2,4,8,16,32

Ø Rumus Umum Suatu Barisan

Unsur ke-n dari suatu barisan biasanya dilambangkan dengan a_n yang dinamakan rumus umum. Unsur – unsur dari suatu barisan dinamakan suku barisan, sehingga a_n menyatakan suku ke-n dari suatu barisan yaitu f(n) = a_n’ dengan f adalah fungsi yang menyatakan barisan {a_n}.

Jadi, rumus umunya yaitu :

1.     A_n = f(n) = 2n – 1 dengan n € { 1, 2, 3, 4, 5 }, menyatakan barisan terhingga.

2.     A_n = f(n) =  dengan n € A, menyatakan barisan tak terhingga.

Ø Menentukan Rumus Suku Ke-n dari Suatu Barisan

Suku ke – n suatu barisan dapat ditentukan pula dengan mengetahui dari suku-sukunya, sehingga kita akan menjumpai kasus bahwa suku ke – n suatu barisan mungkin mudah atau sulit ditentukan. Sebagai ilustrasi :

1.     Barisan 1,3,5,.., mempunyai suku ke – n a_n = 2n – 1, dengan n € A.

2.     Barisan 2,4,8,.., mempunyai suku ke – n, a_n = 2ⁿ, dengan n € A .

3.     Barisan 1, - 4 , 9, - 16,.., mempunyai suku ke – n, a_n = (-1)^n-1 n^2, dengan n € A.

4.     Barisan 1,7,22,50,.., mempunyai suku ke – n, a_n =  n (n + 1)(4n – 1), dengan n € A.

Ø Rumus Rekursi dari Suatu Barisan

Suatu barisan dapat dispesifikasikan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk suatu pola, seperti pada barisan 1,4,7,10,13 … dengan rumus eksplisit untuk suku ke – n, seperti pada barisan :  

a_n = 3n – 2, n ≥ 1

atau oleh rumus rekursi

                                      A_n = a_n-1 + 3, n ≥ , a₁ = 1

2.  Deret

Deret adalah jumlah dari suku – suku barisan. Jika suatu barisan terhingga adalah a₁, a₂, a₃, ..., a_n maka deretnya adalah a₁ + a₂  + a₃ + … + a_n.

Dalam kasus tertentu, kita dapat menentukan deret suatu barisan tak terhingga. Sebagai ilustrasi, pada barisan a_n = 4n – 3 , n € {1,2,3,4,5} , kita mempunyai deret 1 + 5 + 9 + 13 + 17 yang nilainya sama dengan 45.

3.  Notasi Sigma

Notasi sigma adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat. Untuk menuliskan deret n buah suku a_k, k = 1,2,3, … , n  diperlukan suatu bentuk notasi yang singkat yang dinamakan notasi sigma atau notasi jumlah  karena yang digunakan sebagai lambing notasi adalah huruf capital Yunani “sigma”, yaitu huruf ∑.

Rumus notasi sigma :

    Dimana : i =  indeks penjumlahan

     n = batas bawah penjumlahan

      n = batas atas penjumlahan

ü Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Rumus:

U1, U2, U3, . . ., Un atau a, (a + b), (a + 2b), . . ., (a + (n - 1)b)

Pada barisan aritmatika, berlaku Un - Un-1 = b sehingga Un = Un-1 + b

bahwa:

Un = a + (n - 1) b

Suku ke-n barisan aritmetika adalah:

Un = a + (n - 1) b,

dengan Un=suku ke-n

a = suku pertama

b= beda

n= banyaknya suku

Contoh:

Diketahui : barisan 5, -2, -9, -16, …,

 Ditanya : a. rumus suku ke-n

      b. suku ke-25

Penyelesaian:

Selisih dua suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16, … adalah tetap, yaitu b = -7 sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

a. Rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah

 a + (n - 1) b Un = 5 + (n - 1)(-7) = 5 - 7n + 7 = 12 - 7n b.

Suku ke-25 barisan aritmetika tersebut adalah U₂₅ = 12 - 7.25 = 12 - 175 = -163

·        Rata – Rata Hitung

Rata – rata hitung dari dua bilangan x dan y didefinisikan sebagai  ( x + y ). Bilangan x,  ( x + y ), y  membentuk barisan aritmatika. Jika tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, maka bentuk sederhananya adalah a – b, a , a + b. Demikian pula jika u_1,u_2, dan u₃ membentuk barisan aritmatika, maka u₂ =  (u₁ + u₃₌).

·        Suku Tengah Pada Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku terakhir u_n, maka suku tengah u_t di tentukan oleh rumus :

U_t =  (a + u_n), dengan t =  ( n + 1 )

contoh :  Diketahui : barisan aritmatika 5, 8, 11, ...., 125, 128, 131.

     Ditanya : Suku tengahnya?

Jawab :     Barisan 5,8,11 … 131

a = 1 , Un = 131

·        Sisipan Pada Barisan Aritmatika

Antara setiap dua suku yang berurutan pada suatu barisan aritmatika dapat disisipkan beberapa suku baru sehingga dengan suku – suku yang lama membentuk barisan aritmatika baru. Jika antara setiap dua suku disisipkan k buah suku baru, maka :

Barisan aritmatika lama : a, (a + b)

Barisan aritmatika baru : a, (a + b’), (a + 2b’) ,…, {a+( k + 1 )b’},

Sehingga : a + b = a + (k + 1)b’ atau b’ =

Dengan : b’ = beda barisan aritmatika baru

              b  = beda barisan aritmatika lama

              k  = banyak suku yang disisipkan.

Contoh : Suatu barisan aritmatika 2 , 17 , 32 . Banyaknya suku yang disisipkan adalah 4, tentukan beda barisan aritmatika baru ?

Jawab : Dik : Barisan aritmatika 2,17,32

                    b = 15

                    k  = 4

            Dit : b’ ? 

  Peny : b’ =

                 =

                          =

                          = 3

Jadi, barisannya : 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32

·        Banyak suku Barisan Aritmatika Baru

Antara n suku barisan aritmatika semula (lama) ada ( n- 1 ) ruang, yang masing – masing diisi dengan  k suku baru. Dengan demikian, banyaknya suku – suku yang disisipkan adalah k(n – 1).

Banyaknya suku-suku barisan aritmatika semula ditambah dengan suku – suku yang disisipkan, sehingga:  n’ = n + (n – 1)k

Dengan : n’ = banyak suku barisan aritmatika baru

              n  = banyak suku barisan aritmatika semula (lama).

Perhatikan, suku pertama  dan suku terakhir barisan aritmatika semula (lama) dan baru adalah sama.

Ø Deret Aritmatika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika. Bentuk umum:

U1 + U2 + U3 + .... + Un atau a + (a + b) + (a + 2b) + . . .+ (a + (n - 1)b)

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

 

dimana : Sn = Jumlah suku ke-n

                 n = banyaknya suku

                 a = Suku pertama

       b = Beda Un = Suku ke-n

contoh : Hitung jumlah dari suku ke-5 (S5) dari deret berikut : 3, 4, 5, 6, ….?

Jawab : Dik : a = 3       b = 4-3 = 5-4 = 1         n = 5

            Dit : Jumlah suku ke-5 (S5) ?

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

          = 3 + (5-1)1

          = 3 + 4

          = 7

    Sn = 1/2 n ( a + Un )

    S5 = 1/2 .5 (3 +7)

         = 5/2 (10)

     = 25

Jadi jumlah suku ke-5 dari deret tersebut : 25.

·        Sifat Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika yang dirumuskan sebagai S_n =  ( a + u_n ) =  {2a + (n – 1) b } =  n² + ( a -  )n merupaka fungsi kuadrat dalam n dengan n € A.

Sifat :

Jika dari sebuah deret, jumlah n  suku pertama merupakan fungsi kuadrat dalam n tanpa suku tetap, maka deret itu adalah deret aritmatika.

Misalkan jumlah n suku pertama suatu deret adalah S_n = An² + Bn. Kita harus membuktikan bahwa S_n adalah jumlah n suku pertama deret aritmatika.

Bukti : S_n = An² + Bn

           S_n-1 = A (n – 1)² + B(n – 1) = An² – 2An + A + Bn – B

   S_n - S_n-1 = An² + Bn – (An² – 2An + A + Bn – B)

                = An² + Bn – An² + 2An – A – Bn – B

               = 2An + (B – A)

Akan tetapi :

S_n = a + u₂ + u₃ + … + u_n-1 + u_n

S_n-1 = a + u₂ + u₃ + … + u_n-1

Sehingga : S_n – S_n-1 = u_n

Karena itu, maka persamaan (1) menjadi u_n­ = 2An + (B – A) yang merupakan fungsi linear dalam n, sehingga menurut sifat yang telah dikemukakan deret ini merupakan deret aritmatika.

Berdasarkan uraian di atas dapat dituliskan rumus – rumus sebagai berikut :

1.     U_n = S_n – S_n-1

2.     U_n+2 = S_n+2 – S_n+1

3.     S_n = An² + Bn

Contoh: Suku kedua suatu deret aritmetika adalah 5. Jumlah suku keempat dan  suku keenam adalah 28. Tentukanlah suku kesembilannya.

Penyelesaian:

U₂ = 5, berarti a + b = 5 U4 + U₆ = 28, berarti:

 (a + 3b) + (a + 5b) = 28 (a + b + 2b) + (a + b + 4b) = 28 (5 + 2b) + (5 + 4b) = 28 10 + 6b = 28 6b = 18 b = 3 Dengan mensubstitusi b =3 ke a + b +5, didapat a + 3 = 5 sehingga a = 2.

Jadi, suku kesembilan deret aritmetika tersebut adalah U₉ = 2 + 8.3 = 26.

Ø Barisan Geometri

 Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Rumus: U1, U2, U3, . . ., Un atau a, a^r, ar², . . ., ar^{n + 1}

Contoh:

Diketahui : barisan 1,2,4,8,16…

Ditanya: a. suku ke-n

Penyelesaian:

U₆ = ar^n-1

U₆  =1.2^6-1

U₆ =2⁵

U₆ = 32 

Download Soal 

·        Sifat Barisan Geometri

Suku ke-n suatu barisan geomatri yang di rumuskan sebagai u_n = ar^n-1 merupakan fungsi eksponen dalam n, dengan n  € A yang  tidak mengandung suku tetapan.

·        Rata-rata Ukur

Rata-rata ukur dari dua bilangan x dan y didefinisikan sebagai,  ,dengan x > 0 dan y > 0. Perhatikan bahwa barisan bilangan x, ,y menyatakan barisan geomatri dengan rasio .

Sejalan dengan uraian di atas dapat dikemukakan bahwa jika tiga buah bilangan membentuk  barisan geomatri, maka bentuk sederhananya adalah , a,ar, dengan r adalah rasio. Jika bilangan-bilangan u₁,u₂,u₃ membentuk barisan geomatri,

maka u₂ =   ₂

·        Perkalian Suku - suku Barisan Geometri

Hasil kali suku-suku barisan geometri adalah P = aⁿr

Bukti : Barisan geomatri a, ar, ar²,….., ar^n-1

P = a x  ar x ar² x ……. x an^n-1

  = aⁿ r^{1+2+3+……..+ ( n-1)}

 = aⁿ r^1/2(n-1) (terbukti)

·        Suku Tengah Pada Barisan Geometri

Jika barisan geometri mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku akhir u_n , maka suku tengah u ditentukan oleh rumus :

n , dengan t =  ( n + 1 )

 

Hasil kali suku – sukunya adalah P = u _tⁿ

·        Sisipan Pada Barisan Geometri

Apabila antara setiap dua suku yang berurutan harus disisipkan k buah suku baru yang           dengan suku – suku lama merupakan barisan geometri baru, maka :

Barisan geometri lama : a,…,ar

Barisan geometri baru : a,ar’,a(r’)²,…a(r’)^k+1

Sehingga : ar = a(r’)^k+1

                       r’ = ^k+

Dengan : r’ = rasio barisan geometri baru

               r  = rasio barisan geometri lama

               k  = banyak suku yang disisipkan

n’=n+(n-1)k

banyaknya suku barisan geometri baru sama dengan banyaknya suku barisan geometri lama n di tambah dengan (n-1) kali banyaknya suku-suku yang di sisipkan k, dengan demikian

                            

dengan : n’ = banyaknya suku barisan geometri baru

              n = banyaknya suku barisan geometri lama

Ø Deret Geometri Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri. Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk umum: U1 + U2 + U3 + . .. + Un atau a +ar + ar2 +. . .+ arn + 1

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah :

Dimana: Sn = Jumlah suku ke–n

     a = Suku pertama

     r = Rasio

    n = Banyaknya suku

Contoh:

Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut !

Penyelesaian:

U₂ = 8, berarti ar = 8

U₅ = 64,

berarti ar⁴=64

ar.ar³ =64

8r³=64

r³=8

 Sehingga r = 2. Dengan mensubstitusikan r = 2 kepersamaan ar = 8, diperoleh a.2 = 9, sehingga a = 4.

Jumlah n suku pertama deret ini adalah Sn = [4(1-2ⁿ)/(1-2) = 22+10 - 4 = 4092. Jadi jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 4092. (dengan memasukan rumus Sn dari langkah sebelumnya).

·        Sisipan Pada Deret Geometri

Sifat – sifat pada barisan Geometri berlaku pula pada sisipan deret geometri, sehingga r’ = ^k+    dan n’ = n+(n-1)k

Jumlah n’  suku deret geometri baru adalah s_n=  

Latihan Soal

1. Diketahui barisan aritmatika 7, 11, 15, 19, ... Tentukan

a. rumus suku ke-n dari barisan tersebut.

b. Suku ke-11 dari barisan tersebut.

2. Diketahui barisan 6, 17, 28, 39, ... Tentukan:

a. Rumus jumlah n suku pertama;

 b. jumlah 10 suku pertamanya

3. Diketahui barisan geometri 2, 8 , 32, ... Tentukan:

a. suku pertama dan rasio

b. rumus suku ke-n

c. U5 dan U11

4. Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 + .... Tentukan:

a. rumus jumlah n suku pertama

b. jumlah 7 suku pertamanya

1.    Induksi matematika

Induksi matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah

pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan

cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n,

maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.

Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli

pertama, yaitu 1+2+:::+n,adalah sama dengan   . Untuk membuktikan

bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah

yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas

    sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah  = 1. Jadi

    pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka

    pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan dengan cara:

-